论伏羲是全世界有籍可考的首位数学家

来源:郴州网 作者:李超 李君智 发布于:2018/6/13

摘要:根据现有的文献资料,论述了伏羲是全世界有籍可考的首位数学家。

关键词:伏羲;全世界;首位;数学家


一直以来,西方世界一致认为:全世界最早的数学家是古希腊的泰勒斯。他生活在约公元前640年至公元前546年间的米利都,他的贡献是证明了几个几何定理。但是他究竟是如何证明这几个定理的并没有留下文献根据。 郴州网 - 郴州人自己的网站


笔者认为,根据现有的文献资料,有足够的理由可以认定:全世界有籍可考的首位数学家应该是我们中华民族的人文始祖-伏羲。 http://www.chenzhou.com.cn/


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请看下列记载,它来自于我国古代的一部既谈天体又谈数学的天文历算名著《周髀》(图1),属于《周髀》的本文部分(为便于论述起见,采用逐字逐句解说的方式,其中原文、译文、解说及论述分别用楷体字、隶书字、宋体字显示):


昔者周公问于商高曰.窃闻乎大夫善数也.

图 1


从前,周公问商高说:久闻大夫精通数学,不胜敬仰!


这里所说的周公是周文王(公元前1152年——公元前1056年)的第四个儿子,他生活的年代比泰勒斯早几百年,文中称他为昔者,可见作记载时离所记载的事相隔的时间并不久远,甚至不能排除此文献正是周公的下属所作。


请问古者包牺立周天历度.夫天不可阶而升.地不可得尺寸而度.请问数安从出. 郴州网:http://www.chenzhou.com.cn


包牺:即伏羲。周天:整个天穹,整个半球形的天盖。历度:历法和度数。周公称伏羲为古者,可见伏羲相对于周公来说便已经属于古老的人物了,相对于泰勒斯来说当然也就无疑更为古老。 郴州网版权所有,未经许可不得转载!


请问古代的圣人伏羲在确立整个天穹的度数和推算历法时,既需要测天,又需要测地,可是天是不可以攀沿阶梯而升上去的,地也往往不可以只靠直接的度量就得出它的尺寸,请问有关的那些数是怎么得出来的呢?


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商高曰.数之法.出于圆方.


商高回答道:得到这些数靠的是数学的方法,而这些数学方法产生于圆和长方形的有关知识.。


圆出于方.方出于矩.

图2 郴州网 - 郴州人自己的网站


矩:矩尺,中国自古以来用来画长方形的角尺。有时为了加固起见,往往又再在角尺的两边加钉一根木条. 图2中所示的便是漢武梁祠石室造像拓片中所画的矩。漢武梁祠石室造像的伏羲女娲交尾图(图3)中伏羲左手高高举起的也就是矩尺。特地把高举矩尺画入伏羲的造像中,这意味着什么呢?笔者认为,这要么是昭示矩尺是伏羲发明的,要么是昭示伏羲利用矩尺为人类作出了巨大的贡献,要么是昭示伏羲和女娲制定了经世济民的规矩,要么这几方面的意思都兼而有之。

图 3 郴州网 - 郴州人自己的网站


这句话的意思是:


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圆的知识产生于长方形的知识,长方形又是用矩尺画出来的。


矩出于九九八十一. http://www.chenzhou.com.cn/


“九九八十一”是古代乘法口诀的第一句。古代没有乘法口诀这个称呼,在古代就以这句口诀作为整个乘法口诀的代称,并常常就简称为“九九”。顺便值得特别一提的是,按照古代典籍《管子》一书的《轻重》戊篇的下列说法:“伏羲作九九之数,以应天道”,可知这“九九”也正是伏羲所首创的。当然,将这句解释为:“矩出于乘法口诀”或“矩出于九九之数”也是不通的。乘法口诀是用来进行计算的,计算得先给出算法,算法则出自某一原理。所以这里还应该将“九九八十一”解释为利用某种原理和乘法口诀进行的计算。所以,这句话的意思应该是:


要造矩尺得事先按某种原理用乘法口诀进行计算,按照算出的数据确定好矩尺各部分的尺寸后才能把矩尺造出来。


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故折矩以为句广三.股修四.径隅五. 郴州网版权所有,未经许可不得转载!


故:由于这个缘故,根据这个原理。折矩以为:可以这样将将直尺折成为矩尺。隅:角。径隅:角尺两端的直线路径。全句意思是:


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按照这个原理,比方可以这样将直尺折成为矩尺:折成相连的两段,使得其中较短的一段(叫勾)长三,较长的一段(叫股)长四,并使角尺两端的连接线段长五。


值得注意的是,这两句话的前后顺序很重要,前句先说:矩出于九九八十一,后句才接着说:故折矩以为句广三. 股修四. 径隅五.这正说明商高已经先掌握了造矩尺的一般数学原理(即勾股定理及其逆定理),而勾三股四径隅五则仅仅是商高按照这一原理给出的一个具体应用而已。不仅如此,由于这些话都是商高对周公所问“包牺立周天历度…数安从出”的回答,所以笔者觉得有理由认为,伏羲就已经掌握了这一数学原理。


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既方其外.半之一矩.


既:成既成事实之后,矩尺制造成功后。方:长方形。其外:矩尺的外侧。半之:长方形周界线的一半(如果将这个“之”字解释为长方形围成的平面部分,那么,这个“半之”就应该解释为“长方形围成的平面部分的一半”,即“直角三角形围成的平面部分”)。全句的意思是: 郴州网


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矩尺造好以后,用它的外侧便可画出一个长方形。这个长方形周界线的一半所构成的折线正好合于矩尺的外侧,以后就把它(或相应的直角三角形所围成的平面部分)叫做一矩。


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环而共盘.得成三四五.两矩共长,二十有五.


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这里的环,有两个意思,一是指旋转;一是指环绕。共:也有两个意思,一是指拼接,拼凑成;一是指总共。盘:指正方形。得成:得以形成,使得能够形成。“两矩共长一语中的“矩”字,笔者个人认为是“短”字的误传。 “矩”字与“短”字,字形很相近,传了几千年,传来传去被传错的概率极大。历史上,由于《周髀》流传的时间太久,因而常常发现一些错讹之处而被加以纠正。将“短”字误传为“矩”字,可谓误人至深。致使长期以来一直无人对“两矩共长,二十有五”这八个字给出令人信服的解释。有人不得不将“长”字解释为“面积”,误认为古人将长度和面积两个不同的概念混为一谈。于是这八个字就被解释为“两矩的面积总共为二十五”了。为了自圆其说,他又进一步将“矩”解释为“矩形”,而正方形是长方形的特例,所以他就更进一步将“两矩”解释为“以三为边长的正方形和以四为边长的正方形”。其实,认为古人将长度和面积两个不同的概念混为一谈,这是解读者纯粹凭臆想强加给古人的。而且中国的古人从来就是把长方形简称为“方”,从来就没有将它简称为“矩”过,“矩”则从来就是指“矩尺”或“由两条线段连成的夹角为直角的折线”。如:《墨子‧法仪》所說:“百工为方以矩,为圆以規。”《孟子‧离婁》所说“不以規矩,不能成方圆”中的“方”和“矩”都是清楚地加以区分的,“方”就指长方形,“矩”就指矩尺。又如《周礼‧冬官輿人》,《荀子‧赋篇》,《莊子‧徐无鬼》中均有“方者中矩”之说,意思是说“长方形的四个角能够与矩尺所成的角重合”,这又清楚地区分了“方”和“矩”,“方”要通过“矩”来检验,一个图形是否真正为长方形,就得用矩尺来加以检验。所以《周髀》里的“矩”决不能解释为长方形,更不能解释为正方形。倒是把“矩”字更正为“短”字后,这八个字就很好解释了。这一改,前四个字变为:“两短共长”,跟上句更接得上,连起来更自然,更通顺。上一句讲的是 “得成三四五”,连上这句后, “两短”正好指的是“三和四”,而 “长”则指的是“五”。再对照后文的“二十有五”可知,“两短”实际上指的是以两条短边“三和四”为边的两个正方形,而 “长”则实际上指的是以最长边五为边的正方形。所以整个这一段话的意思是:


画出长方形后,通过将画出的长方形接连旋转三次,先后得到三个新的长方形,连同最初画出的长方形一共四个长方形,让它们环围四周,拼接成一个大正方形盘,使得在这个大正方形盘内既形成有边长为三的正方形,又形成有边长为四的正方形,还形成有边长为五的正方形,而且将其中以3和4两条短边为边的正方形经过适当的分解和重新组合后,可以拼成以长边5为边的正方形,因此以3和4为边的正方形的面积总共之和恰好等于以5为边的正方形的面积,都是25.


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商高的这一段话记载得比较概括,为帮助读者阅读,笔者特地画出三个图形(图4, 图5,图6),再采用现代的表达方式详细地解读如下(可以作出多种解读,但不同的解读并没有实质性的区别):


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画出长方形ACBD后,将长方形ACBD绕它的一个顶点A依逆时针方向旋转一直角,得到一个新的长方形AFEG。再取E为新的旋转中心,将新长方形AFEG依逆时针方向旋转一直角,得到第二个新长方形EIHJ。继续以H为旋转中心依逆时针方向旋转一直角,得到第三个新的长方形HKBL,连同最初画的长方形ACBD,一共四个长方形。这四个长方形环围四周围成一个大正方形DFIK,。在这个正方形DFIK内既有边长为三的正方形(如图5中的正方形IHLM),又有边长为四的正方形(如图5中的正方形FMCA)和边长为五的正方形AEHB。其中相邻的以两条短边为边的正方形拼接在一起构成一个形如两级台阶状的图形(图5中着绿色的图形AFIHLC,它由边长为3的正方形IHLM和边长为4的正方形FMCA拼成)。而且,如果在这个图形中,将直角三角形HIE绕H依逆时针方向旋转一直角落到直角三角形HLB的位置,将直角三角形AFE绕A点依顺时针方向旋转一直角落到直角三角形ACB的位置,便与这个图形没有转动的部分又重新拼接成一个以最大边5为边的正方形(图6中着绿色的正方形AEHB。两个直角三角形旋转后,它们以前的位置变成了黄色)。这说明边长为3的正方形IHLM和边长为4的正方形FMCA的面积的总和刚好等于边长为5的正方形AEHB的面积,都是二十五。



是谓积矩.


上述不断将矩叠置的过程(包括用矩围成长方形,由长方形围成正方形,将两级阶梯形的两矩旋转到新位置重新拼成一个以四条径隅为边的正方形)叫做积矩


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以下仅保留与本文论述有关的部分,其余全部略去,换成省略号。 郴州网版权所有,未经许可不得转载!


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周公曰.大哉言数.请问用矩之道.


周公说:听大夫您这样一说,数学的学问真是博大精深呀!请问用矩的学问。


商高曰.平矩以正绳.偃矩以望高.覆矩以测深.卧矩以知远.环矩以为圆.合矩以为方. http://www.chenzhou.com.cn/


商高说:要想让矩尺的一边(勾或股)保持水平位置,就得让矩尺的另一边(股或勾)正好与系着重物的绳子重合;让矩尺的一边保持水平,另一边铅直向上可以用来测出对象的高度,让矩尺一边保持水平,另一边铅直向下可以用来测对象的深度,让矩尺水平地躺着可以用来测对象的远度(距离),旋转矩尺可画圆,用矩尺可画两个一矩使它们合起来构成一个长方形。


……


夫矩之于数.其裁制万物.惟所为耳.


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啊!矩尺对于数学来说,它那可以用来裁制万事万物的功用,简直是只要想得到就一定能够做得到啊!


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……


下面我们再对以上解读细加分析,作进一步的论述:


1)从“折矩以为句广三. 股修四. 径隅五”这一回答来看,商高已经知道:按句广三, 股修四,径隅五的尺寸即可造出矩尺来,也就是说,商高知道了勾股定理逆定理的下列特例:一个边长分别为3,4,5个单位长的三角形一定是直角三角形,且两条短边夹的角是直角。而从这句话前加了一个“故”字来看,商高知道的不只是这个特例,而且知道更一般的结论,这个特例不过是他所知道的更一般的结论的推论而已。


2)从商高回答“矩出于九九八十一”,而不是回答成“矩出于勾广三,股修四,径隅五”来看,再一次说明商高知道的决不是勾股定理逆定理的这一特例,而是知道更一般的结论,这个结论为制作矩尺提供了一个计算其尺寸的算法,且完成这个算法需要用到乘法口诀。再联系后文所说的 “两矩共长”可知,造矩尺的要诀在于实现“两矩共长”,即必须满足“以两条短边为边的两个正方形面积之和恰等于以长边为边的正方形的面积”这一条件,由此可见,这个一般的结论正是勾股定理的逆定理。 http://www.chenzhou.com.cn/


3“既方其外,半之一矩。环而共盘,得成三四五,两矩共长,二十有五。”这一段回答就是后面被商高称为“积矩”的过程,我认为这一过程既是对“折矩以为句广三. 股修四. 径隅五”的实际检验过程,又是一个给出勾股定理完整证明的过程。要检验造出来的角尺是否真是矩尺,就看它是否能够“既方其外”。要检验是否具有“既方其外”的功效,就看画出来的“方”是否能够“环而共盘”,而画出来的“方”是否能够“环而共盘”,就只要对画出的图形进行实际的检验即可。比方在画出图4后,只要用直尺检验D,A,F三点是否在一条直线上。如果恰在一条直线上,则说明角DAC是直角,而这个角是用造出的角尺画出来的,所以造出来的角尺的确是矩尺。在造出来的角尺是矩尺的前提下,这一过程又变成了勾股定理的完整证明。事实上,当造出来的角尺是矩尺时,也就是说当角尺的夹角是直角时,无论它的勾、股、径隅为多长,都可以“方其外”,都可以用它画出如图4中的长方形ACBD。这个长方形画好后,就可以用它实现“环而共盘”,将它接连旋转三次,依次得到长方形AFEG、长方形EIHJ、长方形HKBL,连同最初画的长方形ACBD,一共四个长方形环围四周围成一个大正方形DFIK,。在这个大正方形中,两级台阶状的图形(图5中着绿色的图形)AFIHLC,虽然不一定再由边长为3的正方形和边长为4的正方形拼成,但一定由边长为勾的正方形IHLM和边长为股的正方形FMCA拼成。而且,如果在这个图形中,将直角三角形HIE绕H依逆时针方向旋转一直角落到直角三角形HLB的位置,将直角三角形AFE绕A点依顺时针方向旋转一直角落到直角三角形ACB的位置,便与这个图形没有转动的部分又重新拼接成一个以径隅为边的正方形(图6中着绿色的正方形AEHB)。从而严格地证明了:边长为勾的正方形IHLM和边长为股的正方形FMCA的面积的总和刚好等于边长为径隅的正方形AEHB的面积(当然不一定再是二十五了)。而这一结论正是一般的勾股定理。不难看出,整个证明中起作用的不是勾多少,股多少,径隅多少,而是勾与股的夹角得为直角。本文中的图4、图5、图6完全是按照商高的这段话作出来的,这几个图与三国时代赵爽为《周髀》作注时,在《勾股圆方图》中所画出的“弦图”(图7)实质上是一致的。这说明,“弦图”并不是赵爽首创的,而是赵爽为《周髀》作注时,按照商高在这一段回答中所讲出的作法作出来的,是商高这一回答的图形再现。事实上,在《中国数学史大系》第一卷第四编第一章中有如下记载:“现传本《周髀算经》分为上下二卷,从文字内容看又分为三个历史阶段,第一阶段……有264个字,在这段中还有“勾股圆方图”和“勾股圆方图”完全同样的两句,都是单起行,不知是原文抑或后人所加,故未计入。”笔者认为这两句应该是原文,且原文中还有一个图,这两行字就是作为这个图的名称的标注而分别列于图的左右两侧的,这个图正是赵爽所画的弦图。因此,笔者有理由认为,商高的这一段回答,已经给出了一般勾股定理的非常严格的证明。而不是直到赵爽才给出一般勾股定理的证明。不仅如此,这个方法非常巧妙,如果配上图形的演示,特别是配上动态的图形演示的话,将显得非常直观!证明中,有分,有合,有折,有环,使用了多种高超的证明技巧。且用词简约,一词多义,内容丰富,设计精巧,构图美观。没有丰富的想象力,没有扎实的数学功底,没有炉火纯青的数学技能,是给不出如此高超、如此至今仍令人拍案叫绝的证明的。

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图7


那么这一高超的数学证明究竟最先是何人给出来的呢?由于《周髀》的整个本文部分其实都是商高对周公所问“包牺立周天历度…数安从出”的回答,又由于这一证明过程,只不过是“积矩”而已,只需通过矩的旋转和拼接即可完成,而伏羲则是高举这一制作十分简单却能“裁制万物”“惟所为耳”的矩的举旗人或发明者,因此,我们有足够的理由相信:既然伏羲能够利用矩“裁制万物”“惟所为耳”,完成那些只要想得到就一定能够做得到的事项,那么理所当然地作为一项矩的具体应用就一定能够完成这一积矩的证明,而且还很可能他就是这一高超数学证明的创始人。


伏羲对数学还有其它多项贡献。其实,单凭“立周天历度”这一卓著功勋,就足以让伏羲戴上数学家和天文学家的桂冠。没有足够丰富的数学知识和天文学知识,能够完成“立周天历度”这一伟业吗?显然不能!与此同时,按现有的文献典籍来看,全世界没有比伏羲更早的数学家和天文学家了。所以我们完全有理由作出下列论断:伏羲是全世界有籍可考的首位数学家和天文学家!


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参考文献:


【1】李超. 论周髀的高超证明技巧【J】。湘南学院学报.2008年,227-234 郴州网 - 郴州人自己的网站

【2】 钱宝琮.算经十书.见:李俨钱宝琮科学史全集【M】 郴州网 - 郴州人自己的网站

【3】李迪。中国数学史大系【M】.北京师范大学出版社.1998.9

【4】克莱因著 张理京 张锦炎 译 古今数学思想(第一册)【M】.上海科学技术出版社。1979.10


On Fuxi is the first mathematicianin the

world to be tested.

LI Chao http://www.chenzhou.com.cn/

(College of Mathematics and Fiance,Xiangnan University, Chenzhou 423000,China) http://www.chenzhou.com.cn/

LI junzhi

(College of Law,Xiangnan University, Chenzhou 423000,China)

Abstract : According to the existing literature, Fu Xi is the first mathematician in the world.

Key words : Fu Xi; World; first; Mathematician



作者简介:


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李超 湘南学院数学与金融学院 郴州市伏羲女娲文化研究会高级研究员 郴州网版权所有,未经许可不得转载!

李君智 湘南学院法学院 郴州市伏羲女娲文化研究会研究员 郴州网:http://www.chenzhou.com.cn